为什么样本方差除以n-1？

在统计学中，样本方差是常用的统计量之一，它用来衡量一组数据的离散程度，是方差的估计量。样本方差的计算方式为：

其中，x_i 为样本中的第 i 个观察值；x&x0304; 为样本的均值；n 为样本容量。然而，为什么计算样本方差时除以 n-1 而不是除以 n 呢？这一点不少初学者都会感到疑惑，本文将为你解答这个问题。

样本方差的计算原理

在统计学中，无论是总体数据还是样本数据，方差都是用来衡量数据的离散程度的重要指标。总体方差 (σ²) 表示总体的离散程度，而样本方差 (s²) 则是对总体方差的估计。

对于一组样本数据来说，样本方差的计算原理是用样本观测值与其均值的离差平方和来近似估计总体方差，即：

其中，S² 指的是样本方差，x_i 是样本中的第 i 个观察值，x&x0304; 是样本的均值，n 是样本容量。并且，由于样本的容量比总体的容量小很多，相对来讲，样本方差会比总体方差小。这导致了直接使用总体方差公式来计算样本方差的偏小问题。

n-1的正当性

当我们基于样本数据计算统计指标时，通常采取无偏估计的方式。那么在样本方差的计算中，为何我们要除以样本容量 n-1 而不是 n 呢？这一点我们可以通过推导均值和方差的算式来证明。

对于一个样本来说，我们可以通过如下式子计算样本均值：

其中，x_i 是样本中的第 i 个观察值，n 是样本容量。值得注意的是，这里是除以样本容量 n 而不是 n-1，因为我们已经取到了这 n 个观测值的信息。

接下来，我们来推导样本方差的计算公式：

根据样本方差公式，我们有：

将公式中的分子拆开，得到：

展开式子后，发现是把每个观测值的平方相加，减去每个观测值的平均数的平方。但是，在这 n 个观测值中，有且只有 n-1 个独立自由度，因为已知 n-1 个观测值后，一个观测值可以通过计算样本均值来确定。 因此，如果我们用样本方差公式中的 n 作为除数，就会导致对总体方差进行偏小的无偏估计。

而如果我们除以 n-1 作为样本方差的分母，就可以保证样本方差成为总体方差的无偏估计值。这是因为当分母为 n-1 时，样本方差的期望值等于总体方差。

总结

样本方差是一种常用的统计指标，它用于衡量数据的离散程度。在计算样本方差时，我们要除以样本容量 n-1 而不是 n，以确保对总体方差进行无偏估计。这种做法有着严密的理论基础和实际应用价值。

相比于以前的做法，现代统计学家已经有了各种更的无偏估计方法，它们不仅解决了样本方差的估计问题，还可以应用于其他统计指标的无偏估计。因此，在进行统计数据分析时，我们需要根据具体情况选择适当的统计方法，以获得更和可靠的结果。